Analytisch bewijs: De kleine stelling van Fermat.[bewerken]

Niets op deze pagina is overgenomen uit andere geschriften.

Behalve dan de passage over de binomiaalcoëfficiënten. Daarbij heb ik mij op mijn geheugen verlaten.

De ideeën die U hierin vindt zijn allemaal oorspronkelijk.

$A\neq 0$

Zoals met veel zaken in het leven draait het hier ook om de eenvoud.

De eenvoudige gedachte dat men elk willekeurig getal $A$ kan schrijven als: $A=ap+1$

Een passend voorbeeld:

$A=3$

$p=5$

$A=ap+1=\textstyle {\frac {2}{5}}5+1=3$

${\frac {A^{p-1}-1}{p}}={\frac {(ap+1)^{p-1}-1}{p}}$

${A^{p-1}-1}=(ap+1)^{p-1}-1=\sum _{k=0}^{p-1}{\binom {p-1}{k}}(ap)^{k}1^{p-1-k}-1=\sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p-1}{k}}(ap)^{k}$

${\frac {A^{p-1}-1}{p}}={\frac {1}{p}}\textstyle \{\sum _{k=0}^{p-1}{\binom {p-1}{k}}(ap)^{k}1^{p-1-k}-1\}\displaystyle ={\frac {1}{p}}\textstyle \sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p-1}{k}}a^{k}p^{k}$

${\frac {A^{p-1}-1}{p}}={\frac {1}{p}}\textstyle \sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p-1}{k}}a^{k}p^{k}=\textstyle \sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p-1}{k}}a^{k}p^{k-1}$

Het getal ${A^{p-1}-1}$ kan door p gedeeld worden.

$a={\frac {A-1}{p}}$

${\frac {A^{p-1}-1}{p}}={\frac {1}{p}}\textstyle \sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p-1}{k}}a^{k}p^{k}={\frac {1}{p}}\textstyle \sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p-1}{k}}({\frac {A-1}{p}})^{k}p^{k}$

${\frac {A^{p-1}-1}{p}}={\frac {1}{p}}\textstyle \sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p-1}{k}}{\frac {(A-1)^{k}}{p^{k}}}p^{k}=\textstyle \sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p-1}{k}}{\frac {(A-1)^{k}}{p}}$

${\frac {A^{p-1}-1}{p}}=\textstyle \sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p-1}{k}}{\frac {(A-1)^{k}}{p}}$

Rechts van het isteken staat nu een algemeen bruikbare formule.

Een getallenvoorbeeld:

$A=3$

$p=7$

${\frac {A^{p-1}-1}{p}}={\frac {3^{6}-1}{7}}={\frac {728}{7}}=104$

${\frac {A^{p-1}-1}{p}}=\textstyle \sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p-1}{k}}{\frac {(A-1)^{k}}{p}}=\sum _{k=1}^{6}{\binom {6}{k}}{\frac {2^{k}}{7}}$

$\sum _{k=1}^{6}{\binom {6}{k}}{\frac {2^{k}}{7}}={\frac {{\binom {6}{1}}2^{1}+{\binom {6}{2}}2^{2}+{\binom {6}{3}}2^{3}+{\binom {6}{4}}2^{4}+{\binom {6}{5}}2^{5}+{\binom {6}{6}}2^{6}}{7}}$

$\sum _{k=1}^{6}{\binom {6}{k}}{\frac {2^{k}}{7}}={\frac {6.2+15.4+20.8+15.16+6.32+1.64}{7}}={\frac {728}{7}}=104$

Voor het vormen van een p-voud vond ik de volgende kandidaat $\sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p-1}{k-1}}{\frac {(A-1)^{k}}{p}}$ .

$\textstyle \sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p-1}{k}}{\frac {(A-1)^{k}}{p}}+\sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p-1}{k-1}}{\frac {(A-1)^{k}}{p}}=(\sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p-1}{k-1}}+\sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p-1}{k}}){\frac {(A-1)^{k}}{p}}$

$\textstyle (\sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p-1}{k-1}}+\sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p-1}{k}}){\frac {(A-1)^{k}}{p}}=\sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p}{k}}{\frac {(A-1)^{k}}{p}}$

Rechts van het isteken staat nu een p-voud.

Links van het isteken staat datzelfde p-voud.

Wat misschien wat moeilijker te begrijpen valt is:

$\sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p-1}{k-1}}+\sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p-1}{k}}=\sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p}{k}}$

Hier volgt een stukje wiskunde dat nagenoeg in elke verhandeling over binomiaalcoëfficiënten staat.

$\sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p-1}{k-1}}+\sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p-1}{k}}=\sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p}{k}}$

${\binom {p-1}{k-1}}+{\binom {p-1}{k}}={\frac {(p-1)!}{(p-1-k+1)!(k-1)!}}+{\frac {(p-1)!}{(p-k-1)!k!}}$

Rechts van het isteken is er sprake van twee ongelijknamige breuken, die we gelijknamig gaan maken.

${\frac {(p-1)!}{(p-k)!(k-1)!}}{\frac {k}{k}}+{\frac {p-k}{p-k}}{\frac {(p-1)!}{(p-k-1)!k!}}=(k+p-k){\frac {(p-1)!}{(p-k)!k!}}$

${\binom {p-1}{k-1}}+{\binom {p-1}{k}}={\frac {p!}{(p-k)!k!}}={\binom {p}{k}}$

Hieruit volgt: $\sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p-1}{k-1}}+\sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p-1}{k}}=\sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p}{k}}$

Laten we er van uitgaan dat $\textstyle \sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p-1}{k}}{(A-1)^{k}}$ en $\textstyle \sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p-1}{k-1}}{(A-1)^{k}}$ beiden niet deelbaar zijn door $p$ .