Goniometrische vergelijkingen
Veel problemen, waarbij een periodieke functie (sin, cos of tan) optreedt, geven aanleiding tot het oplossen van goniometrische vergelijkingen. Neem bijvoorbeeld het probleem van de diepte van een vaargeul in een Frans haventje. Veronderstel even dat er een diepte van 3 meter nodig is zodat een schip veilig de haven kan binnenvaren. De diepte D (in meter) varieert in de loop van een dag en kan beschreven worden met een functie van de volgende vorm , waarbij t de tijd (in uren) voorstelt. Om het tijdstip t van een diepte van 3 meter te detecteren, moet een vergelijking van de volgende vorm opgelost worden:
Dit is een goniometrische vergelijking en elke goniometrische vergelijking bevat goniometrische getallen (sin, cos of tan) van een onbekende x, y, t, ... Het is belangrijk om alle oplossingen te vinden en meestal zijn er oneindig veel oplossingen omwille van de periodiciteit van de goniometrische functies (sin, cos en tan).
Basisvormen van goniometrische vergelijkingen[bewerken]
Basisvormen met een sinus[bewerken]
Op de volgende afbeelding is duidelijk te zien dat elke constante waarde voor sinα (gelegen tussen -1 en 1) twee punten bepaalt op de goniometrische cirkel.
Die twee punten op de goniometrische cirkel geven aanleiding tot twee reeksen met oneindig veel oplossingen voor de vergelijking sinx = sinα zodat we de volgende formules kunnen gebruiken bij het oplossen van een goniometrische vergelijking met een sinus:
sinx = sinα ↔ x = α+k.2π of x = π-α+k.2π
sinx = sinα ↔ x = α+k.360° of x = 180°-α+k.360°
Hierbij stelt k een geheel getal voor. De gehele getallen zijn ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...
Vb. sinx = 0,5
↔ sinx = sin30°
↔ x = 30°+k.360° of x = 180°-30°+k.360°
↔ x = 30°+k.360° of x = 150°+k.360°
De eerste reeks bevat de oplossingen ... , -330° , 30° , 390° , 750° , ...
De tweede reeks bevat de oplossingen ... , -210° , 150° , 510° , 870° , ...
Basisvormen met een cosinus[bewerken]
De volgende afbeelding toont dat elke constante waarde voor cosα (gelegen tussen -1 en 1) twee punten bepaalt op de goniometrische cirkel.
Die twee punten op de goniometrische cirkel geven aanleiding tot twee reeksen met oneindig veel oplossingen voor de vergelijking cosx = cosα zodat we de volgende formules kunnen gebruiken bij het oplossen van een goniometrische vergelijking met een cosinus:
cosx = cosα ↔ x = α+k.2π of x = -α+k.2π
cosx = cosα ↔ x = α+k.360° of x = -α+k.360°
Vb. cos2x = 0
↔ cos2x = cos90°
↔ 2x = 90°+k.360° of 2x = -90°+k.360°
↔ x = 45°+k.180° of x = -45°+k.180°
↔ x = 45°+k.90°
Merk op dat we hier toevallig de twee reeksen (met periode 180°) kunnen samenvatten in één reeks (met periode 90°).
Uit deze laatste reeks berekenen we de oplossingen ... , -45° , 45°, 135° , 225° , ...
Basisvormen met een tangens[bewerken]
Op de volgende afbeelding kan je zien dat elke constante waarde voor tanα één punt bepaalt op de rechterhelft van de goniometrische cirkel. We kunnen ons beperken tot de rechterhelft omdat π de periode van de tangens is (terwijl 2π de periode van sinus en cosinus is).
Dat unieke punt op de goniometrische cirkel geeft aanleiding tot één reeks met oneindig veel oplossingen voor de vergelijking tanx = tanα zodat we de volgende formule kunnen gebruiken bij het oplossen van een goniometrische vergelijking met een tangens:
tanx = tanα ↔ x = α+k.π
Vb. tanx = 13,5
↔ tanx = tan85°45'49"
↔ x = 85°45'49"+k.180°
Deze reeks bevat de oplossingen ... , -94°14'11" , 85°45'49" , 265°45'49" , 445°45'49" , ...
De hoek 85°45'49" hierboven is berekend met de cyclometrische functie arctan (die de inverse functie van tan is):
arctan(13,5) = 85°45'49"
Toepassing: diepte van een vaargeul in een Frans haventje[bewerken]
We keren even terug op het voorbeeld van de diepte van een vaargeul in een Frans haventje. De diepte D (in meter) wordt beschreven door de functie , waarbij t de tijd (in uren) voorstelt vanaf middernacht op een bepaalde dag. De hoek in de formule wordt uitgedrukt in radiaal zodat we als periode 2π gebruiken. Het eerste tijdstip t na middernacht, waarop een schip kan binnenvaren, wordt berekend uit de volgende goniometrische vergelijking:
4,7 sin (0,501 t - 9.5) + 2,1 = 3
↔ 4,7 sin (0,501 t - 9.5) = 0,9
↔ sin (0,501 t -9.5) = 0.1915
↔ sin (0,501 t - 9.5) = sin 0,1927
↔ 0,501 t - 9.5 = 0,1927 + k.2π of 0,501 t - 9,5 = π - 0,1927 + k.2π
↔ 0,501 t = 9,6927 + k.2π of 0,501 t = 12,4489 + k.2π
↔ t = 19,3467 + k.12,5413 of t = 24,8481 + k.12,5413
Het eerste tijdstip na middernacht vinden we in de eerste formule door k = -1 te kiezen (in de verzameling van de gehele getallen). Dat tijdstip is t = 6,8054. Bijgevolg mogen de schepen het haventje binnenvaren vanaf 6u 48m 19s 's morgens.
Samengestelde goniometrische vergelijkingen[bewerken]
Soms komt een goniometrisch getal (sin, cos of tan) twee keer voor of staat er ook een kwadraat van zo'n goniometrisch getal in de vergelijking. Dan moeten we een aangepaste techniek gebruiken.
Vb. 2 cos2x - cosx = 0
↔ cosx . (2 cosx - 1) = 0
↔ cosx = 0 of 2 cosx -1 = 0
↔ cosx = 0 of cosx = 0,5
↔ cosx = cos90° of cosx = cos60°
↔ x = 90°+k.360° of x = -90°+k.360° of x = 60°+k.360° of x = -60°+k.360°
Dit artikel "Goniometrische vergelijkingen" is uit Wikipedia. De lijst van zijn auteurs is te zien in zijn historische en/of op de pagina Edithistory:Goniometrische vergelijkingen.
