Restitutiecoëfficiënt

De restitutiecoëfficiënt, ook aangeduid met (e), is een (dimensieloos) getal dat de verhouding beschrijft tussen de uiteindelijke en initiële relatieve snelheid tussen twee objecten nadat ze met elkaar in botsing zijn gekomen. Het varieert normaal van 0 tot 1, waarbij 1 een theoretisch perfect elastische botsing zou zijn. Een perfect inelastische botsing heeft een coëfficiënt van 0, maar een 0-waarde hoeft niet perfect inelastisch te zijn. Bij de Leebhardheidstest wordt deze waarde gemeten, uitgedrukt als 1000 keer de restitutiecoëfficiënt, maar het is alleen een geldige restitutiecoëfficiënt voor de test, niet als een universele restitutiecoëfficiënt voor het materiaal dat wordt getest.

De waarde is bijna altijd kleiner dan één doordat aanvankelijke translatie-kinetische energie verloren gaat aan kinetische rotatie-energie, plastische vervorming en warmte. Het kan hoger dan 1 zijn als er een energiewinst is tijdens de botsing door een chemische reactie, een vermindering van de rotatie-energie of een andere interne energiedaling die bijdraagt aan de snelheid na de botsing.

De berekening is ontwikkeld door Isaac Newton in 1687.^[1] Het staat ook bekend als de experimentele wet van Newton.

Parameters[bewerken]

botsingslijn - is de lijn waarlangs e wordt gedefinieerd of bij afwezigheid van tangentiële reactiekracht tussen botsende oppervlakken, wordt de kracht van botsing langs deze lijn tussen lichamen verdeeld. Tijdens fysiek contact tussen lichamen tijdens een botsing zijn lijn langs gemeenschappelijke normaal tot paar oppervlakken die in contact komen met botsende lichamen. Daarom wordt e gedefinieerd als een dimensieloze eendimensionale getal.

Bereik van waardes voor e – als een constante[bewerken]

e is over het algemeen een positief, reëel getal tussen 0 en 1:

e = 0: Dit is een volkomen onelastische botsing. Dit betekent dat kinetische energie langs de gemeenschappelijke normaal 0 is. Kinetische

energie wordt omgezet in warmte of werk dat wordt gedaan om de objecten te vervormen.

0 < e < 1: Dit is een inelastische botsing in de praktijk , waarbij enige kinetische energie wordt gedissipeerd.

e = 1: Dit is een perfect elastische botsing, waarbij geen kinetische energie wordt gedissipeerd en de objecten van elkaar terugkaatsen met

dezelfde relatieve snelheid waarmee ze naderden.

e < 0: Een restitutiecoëfficiënt kleiner dan nul zou een botsing inhouden waarbij de scheidingssnelheid van de objecten dezelfde richting

heeft als de sluitsnelheid, wat impliceert dat de objecten door elkaar heen gaan zonder volledig in elkaar te grijpen. Dit kan ook worden gezien

als een onvolledige overdracht van moment. Een voorbeeld hiervan is een klein, compact object dat door een groot, minder compact object

gaat, bijvoorbeeld een kogel die door een doelwit gaat.

e > 1: Dit zou een botsing zijn waarbij energie vrijkomt, nitrocellulose biljartballen kunnen bijvoorbeeld letterlijk exploderen op het punt van

impact. Ook hebben enkele recente artikelen superelastische botsingen beschreven waarin wordt beweerd dat de restitutiecoëfficiënt een

waarde groter dan één kan aannemen in een speciaal geval van schuine botsingen.^[2]^[3]^[4] Deze verschijnselen zijn te wijten aan

de verandering van het weerkaatsingstraject veroorzaakt door wrijving. Bij een dergelijke botsing wordt de kinetische energie verhoogd op een

manier die energie vrijkomt bij een soort explosie. Het is mogelijk dat $e=\infty$ voor een perfecte explosie van een stijf systeem.

Maximale vervormingsfase – Bij idere botsing van 0 < e ≤ 1, is er een toestand waarin gedurende een kort moment langs de lijn van de

botsing botsende lichamen dezelfde snelheid hebben wanneer de toestand van kinetische energie verloren gaat in maximale fractie als warmte,

geluid en licht met vervorming potentiële energie. Voor deze korte duur is deze botsing e = 0 en kan worden aangeduid als inelastische fase.

Gepaarde objecten[bewerken]

De restitutiecoëfficiënt is een eigenschap van een paar objecten bij een botsing, niet één enkel object. Als een bepaald object met twee verschillende objecten botst, heeft elke botsing zijn eigen restitutiecoëfficiënt. Wanneer wordt beschreven dat een object een restitutiecoëfficiënt heeft, alsof het een intrinsieke eigenschap is zonder verwijzing naar een tweede object, wordt aangenomen dat het zich tussen identieke bollen of tegen een perfect stijve muur bevindt.

Een perfect stijve muur is niet mogelijk, maar kan worden benaderd door een stalen blok als de restitutiecoëfficiënt van bollen met een veel kleinere elasticiteitsmodulus wordt onderzocht. Anders zal de restitutiecoëfficiënt op een meer gecompliceerde manier stijgen en vervolgens dalen op basis van de botsingssnelheid.^[5]

Relatie met behoud van energie en moment[bewerken]

Bij een eendimensionale botsing zijn de twee belangrijkste principes: behoud van energie (behoud van kinetische energie als de botsing perfect elastisch is) en behoud van (lineair) momentum. Van deze twee kan een derde vergelijking worden afgeleid, namelijk de restitutievergelijking zoals hierboven vermeld. Bij het oplossen van problemen kunnen twee van de drie vergelijkingen worden gebruikt. Het voordeel van het gebruik van de restitutievergelijking is dat het soms een gemakkelijkere manier is om het probleem te benaderen.

Stel dat $m_{1}$ , $m_{2}$ de massa is van respectievelijk object 1 en object 2. Dat $u_{1}$ ,

$u_{2}$ de beginsnelheid is van respectievelijk object 1 en object 2. En dat $v_{1}$ , $v_{2}$ de eindsnelheid

is van respectievelijk object 1 en object 2

{\begin{cases}{\frac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\\m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\end{cases}}

Uit de eerste vergelijking,

m_{1}(u_{1}^{2}-v_{1}^{2})=m_{2}(v_{2}^{2}-u_{2}^{2})

m_{1}(u_{1}+v_{1})(u_{1}-v_{1})=m_{2}(v_{2}+u_{2})(v_{2}-u_{2})

Uit de tweede vergelijking,

m_{1}(u_{1}-v_{1})=m_{2}(v_{2}-u_{2})

Na deling,

u_{1}+v_{1}=v_{2}+u_{2}

u_{1}-u_{2}=-(v_{1}-v_{2})

{\frac {\left|v_{1}-v_{2}\right|}{\left|u_{1}-u_{2}\right|}}=1

De bovenstaande vergelijking is de restitutievergelijking, en de restitutiecoëfficiënt is 1, wat een perfect elastische botsing is.

Vergelijkingen[bewerken]

In het geval van een eendimensionale botsing tussen twee objecten, object A en object B, wordt de restitutiecoëfficiënt gegeven door:

C_{R}={\frac {\left|v_{\text{b}}-v_{\text{a}}\right|}{\left|u_{\text{a}}-u_{\text{b}}\right|}}

:

v_{\text{a}}

is de eindsnelheid van object A na een botsing

v_{\text{b}}

is de eindsnelheid van object B na een botsing

u_{\text{a}}

is de beginsnelheid van object A vóór de botsing

u_{\text{b}}

is de beginsnelheid van object B vóór de botsingt

Hoewel $C_{R}$ niet expliciet afhankelijk is van de massa van de objecten, is het belangrijk op te merken dat de eindsnelheden

massa-afhankelijk zijn. Voor twee- en driedimensionale botsingen van stijve lichamen zijn de gebruikte snelheden de componenten loodrecht op de raaklijn / het vlak op het contactpunt, dat wil zeggen langs de botsingslijn.

Voor een object dat van een stationair doelwit terugkaatst, $C_{R}$ wordt gedefinieerd als de verhouding tussen de snelheid van het object na de botsing en die vóór de botsing:

C_{R}={\frac {v}{u}}

v

is de snelheid van het object na een botsing

u

is de snelheid van het object vóór de botsing

In een geval waarin wrijvingskrachten kunnen worden verwaarloosd en het object vanuit rust op een horizontaal oppervlak valt, komt dit overeen met:

C_{R}={\sqrt {\frac {h}{H}}}

, where

h

is de stuiterhoogte

H

is de valhoogte

De restitutiecoëfficiënt kan worden gezien als een maatstaf voor de mate waarin mechanische energie wordt behouden wanneer een object van een oppervlak terugkaatst. In het geval dat een object tegen een stationair doel stuitert, is de verandering in potentiële zwaartekracht energie,

PE , tijdens de botsing in wezen nul; $C_{R}$ is dus een vergelijking tussen de kinetische energie, KE , van het object onmiddellijk

vóór de botsing met die onmiddellijk na de botsing:

C_{R}={\sqrt {\frac {KE_{\text{(na botsing)}}}{KE_{\text{(voor botsing)}}}}}={\sqrt {\frac {{\frac {1}{2}}mv^{2}}{{\frac {1}{2}}mu^{2}}}}={\sqrt {\frac {v^{2}}{u^{2}}}}={\frac {v}{u}}

In gevallen waarin wrijvingskrachten kunnen worden verwaarloosd (bijna elk studentenlaboratorium over dit onderwerp^[6]), en het object vanuit rust op een horizontaal oppervlak valt, is het

bovenstaande equivalent aan een vergelijking tussen de PE van het object op de valhoogte met dat op de stuiterhoogte. In dit geval is de

verandering in KE nul (het object is in wezen in rust tijdens de botsing en is ook in rust aan de top van de stuitering); dus:

C_{R}={\sqrt {\frac {PE_{\text{(bij stuiterhoogte)}}}{PE_{\text{(bij valhoogte)}}}}}={\sqrt {\frac {mgh}{mgH}}}={\sqrt {\frac {h}{H}}}

Snelheden na botsing[bewerken]

De vergelijkingen voor botsingen tussen elastische deeltjes kunnen worden aangepast om de restitutiecoëficient te gebruiken, waardoor ze ook

toepasbaar worden op niet-elastische botsingen en elke mogelijkheid daartussenin

v_{a}={\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}

and

v_{\text{b}}={\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{a}}C_{R}(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}

v_{\text{a}}

is de eindsnelheid van het eerste object na een botsing

v_{\text{b}}

is de eindsnelheid van het tweede object na een botsing

u_{\text{a}}

is de beginsnelheid van het eerste object vóór de botsing

u_{\text{b}}

is de beginsnelheid van het tweede object vóór de botsing

m_{\text{a}}

is de massa van het eerste object

m_{\text{b}}

is de massa van het tweede object

Afgeleide[bewerken]

De bovenstaande vergelijkingen kunnen worden afgeleid uit de analytische oplossing van het stelsel vergelijkingen gevormd door de definitie van de restitutiecoëfficiënt en de wet van behoud van moment (die geldt voor alle botsingen). Met behulp van de notatie van bovenstaand waar $u$ de snelheid voor de botsing en $v$ erna staat, levert dit op:

{\begin{aligned}&m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}=m_{\text{a}}v_{\text{a}}+m_{\text{b}}v_{\text{b}}\\&C_{R}={\frac {\left|v_{\text{b}}-v_{\text{a}}\right|}{\left|u_{\text{a}}-u_{\text{b}}\right|}}\\\end{aligned}}

Uitrekenen van de impulsbehoudvergelijking voor $v_{\text{a}}$ en de definitie van de restitutiecoëfficiënt $v_{\text{a}}$

levert op

{\begin{aligned}&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}-m_{\text{b}}v_{\text{b}}}{m_{\text{a}}}}=v_{\text{a}}\\&v_{\text{b}}=C_{R}(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})+v_{\text{a}}\\\end{aligned}}

Vervolgens substitutie in de eerste vergelijking voor $v_{\text{b}}$ en vervolgens oplossen voor $v_{\text{a}}$ geeft:

{\begin{aligned}&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}-m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})-m_{\text{b}}v_{\text{a}}}{m_{\text{a}}}}=v_{\text{a}}\\&\\&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}}}=v_{\text{a}}\left[1+{\frac {m_{\text{b}}}{m_{\text{a}}}}\right]\\&\\&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}=v_{\text{a}}\\\end{aligned}}

Een vergelijkbare afleiding levert de formule voor $v_{\text{b}}$ op.

Variatie als gevolg van objectvorm en excentrische botsingen[bewerken]

Wanneer botsende objecten geen bewegingsrichting hebben die in lijn is met hun zwaartepunt en inslagpunt, of als hun contactoppervlakken op dat punt niet loodrecht op die lijn staan, zou er energie welke beschikbaar geweest zou zijn voor het na-inlslagsnelheid verschil verloren gaan door rotatie en wrijving. Energieverliezen door trillingen en het resulterende geluid zijn meestal te verwaarlozen.

Botsende verschillende materialen en praktische metingen[bewerken]

Als een zacht voorwerp een harder voorwerp raakt, wordt de meeste energie die beschikbaar is voor de snelheid na de botsing opgeslagen in het zachte voorwerp. De restitutiecoëfficiënt zal afhangen van hoe efficiënt het zachte object is bij het opslaan van de energie in compressie zonder deze te verliezen aan warmte en plastische vervorming. Een rubberen bal stuitert beter op beton dan een glazen bal, maar de restitutiecoëfficiënt van glas-op-glas is een stuk hoger dan rubber-op-rubber omdat een deel van de energie in rubber verloren gaat aan warmte wanneer het wordt samengedrukt. Wanneer een rubberen bal tegen een glazen bal botst, is de restitutiecoëfficiënt volledig afhankelijk van het rubber. Om deze reden kan het bepalen van de restitutiecoëfficiënt van een materiaal wanneer er niet identiek materiaal is voor botsing het beste worden gedaan door een veel harder materiaal te gebruiken. Omdat er geen perfect stijf materiaal is, wordt de restitutiecoëfficiënt van harde materialen zoals metalen en keramiek theoretisch bepaald door rekening te houden met de botsing tussen identieke bollen. In de praktijk kan een Newton-wieg met 2 kogels worden gebruikt, maar een dergelijke opstelling is niet bevorderlijk voor het snel testen van monsters.

De Leebhardheidstest is de enige algemeen beschikbare test met betrekking tot het bepalen van de restitutiecoëfficiënt. Het maakt gebruik van

een punt van wolfraamcarbide, een van de hardste beschikbare stoffen, die vanaf een specifieke hoogte op testmonsters valt. Maar de vorm van

de punt, de slagsnelheid en het wolfraamcarbide zijn allemaal variabelen die het resultaat beïnvloeden dat wordt uitgedrukt in termen van 1000

maal restitutiecoëfficiënt. Het geeft geen objectieve restitutiecoëfficiënt voor het materiaal dat onafhankelijk is van de test.

Een uitgebreide studie van restitutiecoëfficiënten in afhankelijkheid van materiaaleigenschappen (elastische moduli, reologie), botsingsrichting,

wrijvingscoëfficiënt en adhesieve eigenschappen van botsende lichamen kan worden gevonden in.^[7]

Bronnen, noten en/of referenties

↑ (8 May 2008). The coefficient of restitution for the idealized impact of a spherical, nano-scale particle on a rigid plane. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 464 (2093): 1295–1307 . DOI: 10.1098/rspa.2007.0289.
↑ Louge, Michel (2002). Anomalous behavior of normal kinematic restitution in the oblique impacts of a hard sphere on an elastoplastic plate. Physical Review E 65 (2): 021303 . PMID: 11863512. DOI: 10.1103/PhysRevE.65.021303.
↑ Kuninaka, Hiroto (2004). Anomalous Behavior of the Coefficient of Normal Restitution in Oblique Impact. Physical Review Letters 93 (15) . PMID: 15524884. DOI: 10.1103/PhysRevLett.93.154301.
↑ Calsamiglia, J. (1999). Anomalous Frictional Behavior in Collisions of Thin Disks. Journal of Applied Mechanics 66 (1): 146 . DOI: 10.1115/1.2789141.
↑ IMPACT STUDIES ON PURE METALS.
↑ (2011). When Does Air Resistance Become Significant in Free Fall?. The Physics Teacher 49 (2): 89–90 . DOI: 10.1119/1.3543580.
↑ (de) Willert, Emanuel, Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin: Grundlagen und Anwendungen, Springer Vieweg. DOI:10.1007/978-3-662-60296-6, 2020.